2次関数 $y = x^2 - 2ax + b + 5$ (ただし、$a, b$ は定数で、$a > 0$) のグラフが点 $(-2, 16)$ を通る。 (1) $b$ を $a$ を用いて表し、関数①のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) 関数①のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求める。 (3) (2) のとき、$0 \le x \le k$ ($k$ は正の定数) における関数①の最大値と最小値の和が 5 となるような $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + b + 5$ (ただし、$a, b$ は定数で、$a > 0$) のグラフが点 $(-2, 16)$ を通る。

(1) $b$ を $a$ を用いて表し、関数①のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) 関数①のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求める。

(3) (2) のとき、$0 \le x \le k$ ($k$ は正の定数) における関数①の最大値と最小値の和が 5 となるような $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = x^2 - 2ax + b + 5$ が点 $(-2, 16)$ を通るので、

$16 = (-2)^2 - 2a(-2) + b + 5$

$16 = 4 + 4a + b + 5$

$16 = 9 + 4a + b$

$b = 7 - 4a$

次に、関数 $y = x^2 - 2ax + b + 5$ を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + a^2 - a^2 + b + 5$

$y = (x - a)^2 - a^2 + b + 5$

$y = (x - a)^2 - a^2 + (7 - 4a) + 5$

$y = (x - a)^2 - a^2 - 4a + 12$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2 - 4a + 12)$ である。

(2)

関数①のグラフが $x$ 軸と接するとき、頂点の $y$ 座標が 0 になる。

$-a^2 - 4a + 12 = 0$

$a^2 + 4a - 12 = 0$

$(a + 6)(a - 2) = 0$

$a = -6, 2$

$a > 0$ より $a = 2$

(3)

(2) より $a = 2$ なので、関数は $y = (x - 2)^2$ となる。

$0 \le x \le k$ における最大値と最小値の和が 5 となる。

最小値は $x = 2$ のとき $y = 0$ なので、最大値は 5 である。

$y = (x - 2)^2 = 5$

$x - 2 = \pm \sqrt{5}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

$0 \le x \le k$ であるから、

最大値が $x = 0$ のとき、$y = (0 - 2)^2 = 4 < 5$ なので、これは条件を満たさない。

最大値は $x = k$ のときであり、$y = (k - 2)^2 = 5$ である。

$k = 2 \pm \sqrt{5}$

$0 \le k$ であるから $k = 2 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$b = 7 - 4a$

頂点の座標: $(a, -a^2 - 4a + 12)$

(2)

$a = 2$

(3)

$k = 2 + \sqrt{5}$