$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+3x} - ax$ の形を変形する。

$\sqrt{x^2+3x} - ax = \frac{(\sqrt{x^2+3x} - ax)(\sqrt{x^2+3x} + ax)}{\sqrt{x^2+3x} + ax} = \frac{(x^2+3x) - (ax)^2}{\sqrt{x^2+3x} + ax} = \frac{(1-a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2+3x} + ax}$

極限が存在するためには、$x^2$ の項が消える必要があるので、 $1-a^2=0$ となる必要がある。

よって、$a = \pm 1$ である。

(i) $a = 1$ の場合、

$\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{3}{2}$

(ii) $a = -1$ の場合、

$\frac{6x}{\sqrt{x^2+3x} - x}$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x^2+3x} - x \to 0$ となる。

したがって、極限は$\infty$に発散する。よって、この場合は極限値は存在しない。

したがって、$a = 1$ の場合のみ、極限が存在する。

3. 最終的な答え

$a = 1$ のとき、極限値は $\frac{3}{2}$ である。