$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を計算する問題です。

解析学極限三角関数ロピタルの定理
2025/7/29

1. 問題の内容

limx0sin2xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} を計算する問題です。

2. 解き方の手順

limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 という極限の公式を利用します。
まず、sin2xsin5x\frac{\sin 2x}{\sin 5x} を以下のように変形します。
sin2xsin5x=sin2x2x5xsin5x2x5x\frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}
ここで、limx0sin2x2x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 および limx0sin5x5x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1 であるから、limx05xsin5x=1\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = 1 となります。
したがって、
limx0sin2xsin5x=limx0(sin2x2x5xsin5x2x5x)\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} \right)
=limx0sin2x2xlimx05xsin5xlimx02x5x= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{5x}
=1125= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5}
=25= \frac{2}{5}

3. 最終的な答え

25\frac{2}{5}

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