与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^x$

ここで、$x+1 = t$ とおくと、$x = t-1$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^x = \lim_{t \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^{t-1}$

$= \lim_{t \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^t \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^{-1}$

$\lim_{t \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^t = e^{-1}$

$\lim_{t \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^{-1} = 1$

であるので、

$\lim_{t \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^t \left( 1 - \frac{1}{t} \right)^{-1} = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}$

3. 最終的な答え

$e^{-1} = \frac{1}{e}$