関数 $y = -x^3 + 6x$ について、原点における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^3 + 6x$ について、原点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 6x)$

$y' = -3x^2 + 6$

2. 次に、原点における接線の傾きを求めるために、$x = 0$ を導関数 $y'$ に代入する。

$y'(0) = -3(0)^2 + 6 = 6$

したがって、原点における接線の傾きは 6 である。

3. 最後に、原点 $(0, 0)$ を通り、傾きが 6 の直線の方程式を求める。直線の方程式は $y = mx + b$ で表される。ここで、$m$ は傾き、$b$ は y 切片である。

$y = 6x + b$

原点を通るので、$x = 0$, $y = 0$ を代入すると、

$0 = 6(0) + b$

$b = 0$

したがって、接線の方程式は $y = 6x$ となる。

3. 最終的な答え

$y = 6x$