極方程式で表される曲線の長さを求める問題です。 (1) $r = 8\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) (2) $r = a(1 + \cos\theta)$ ($0 \le \theta \le 2\pi$)

1. 問題の内容

極方程式で表される曲線の長さを求める問題です。

(1) $r = 8\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)

(2) $r = a(1 + \cos\theta)$ ($0 \le \theta \le 2\pi$)

2. 解き方の手順

極座標表示された曲線の長さ $L$ は、次のように計算されます。

$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$

(1) $r = 8\sin\theta$ の場合

$\frac{dr}{d\theta} = 8\cos\theta$

$r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2 = (8\sin\theta)^2 + (8\cos\theta)^2 = 64(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 64$

したがって、

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{64} d\theta = \int_{0}^{\pi} 8 d\theta = 8[\theta]_{0}^{\pi} = 8(\pi - 0) = 8\pi$

(2) $r = a(1 + \cos\theta)$ の場合

$\frac{dr}{d\theta} = -a\sin\theta$

$r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2 = a^2(1 + \cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta = a^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta) = a^2(2 + 2\cos\theta) = 2a^2(1 + \cos\theta) = 4a^2\cos^2(\frac{\theta}{2})$

したがって、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4a^2\cos^2(\frac{\theta}{2})} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 2|a\cos(\frac{\theta}{2})| d\theta$

$0 \le \theta \le \pi$ のとき $\cos(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ であり、$\pi \le \theta \le 2\pi$ のとき $\cos(\frac{\theta}{2}) \le 0$ なので、絶対値を外すために積分区間を分割します。

$L = 2a\int_{0}^{2\pi} |\cos(\frac{\theta}{2})| d\theta = 2a\left(\int_{0}^{\pi} \cos(\frac{\theta}{2}) d\theta - \int_{\pi}^{2\pi} \cos(\frac{\theta}{2}) d\theta\right)$

$L = 2a\left(\left[2\sin(\frac{\theta}{2})\right]_{0}^{\pi} - \left[2\sin(\frac{\theta}{2})\right]_{\pi}^{2\pi}\right) = 2a\left((2\sin(\frac{\pi}{2}) - 2\sin(0)) - (2\sin(\pi) - 2\sin(\frac{\pi}{2}))\right)$

$L = 2a((2 - 0) - (0 - 2)) = 2a(2 + 2) = 8a$

3. 最終的な答え

(1) $8\pi$

(2) $8a$