以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \log x$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \log x$

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \cdot \log x$の極限の形を確認します。$x \to 0^+$のとき、$\sin x \to 0$であり、$\log x \to -\infty$です。したがって、$0 \cdot (-\infty)$という不定形になります。

この不定形を解消するために、$\frac{0}{0}$または$\frac{\infty}{\infty}$の形に変形し、ロピタルの定理を適用することを考えます。

$\sin x \cdot \log x = \frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}}$と変形すると、$x \to 0^+$のとき、$\log x \to -\infty$であり、$\frac{1}{\sin x} \to \infty$であるため、$\frac{-\infty}{\infty}$の不定形となります。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{\sin^2 x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{\sin x}{x} \cdot \tan x$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$と$\lim_{x \to 0} \tan x = 0$を用いると、

$\lim_{x \to 0^+} -\frac{\sin x}{x} \cdot \tan x = -1 \cdot 0 = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \log x = 0$となります。

3. 最終的な答え

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