三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$のとき、角Cの大きさと内接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$のとき、角Cの大きさと内接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Cの大きさを求めます。余弦定理は、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

で表されます。この式に$a=3$, $b=5$, $c=7$を代入すると、

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos C$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos C$

$49 = 34 - 30 \cos C$

$15 = -30 \cos C$

$\cos C = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$ となる角Cは、 $C = 120^\circ$です。

次に、内接円の半径を求めます。三角形の面積Sは、$S = \frac{1}{2} ab \sin C$ で計算できます。$C = 120^\circ$なので、$\sin C = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$です。

したがって、$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$となります。

また、内接円の半径を$r$とすると、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$という関係があります。

$S = \frac{1}{2} r (3+5+7) = \frac{1}{2} r (15) = \frac{15}{2}r$

したがって、$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15}{2}r$

$r = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$C = 120^\circ$

内接円の半径は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。