三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=6$, $\angle B = 120^\circ$であるとき、辺ACの長さを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=6$, $\angle B = 120^\circ$であるとき、辺ACの長さを求めます。

2. 解き方の手順

余弦定理を使います。余弦定理は、三角形の任意の角とその対辺の関係を表すもので、三角形ABCにおいて、角Bとその対辺ACの関係は次のようになります。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

与えられた値を代入すると、

$AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$なので、

$AC^2 = 16 + 36 - 48 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 52 + 24$

$AC^2 = 76$

したがって、$AC = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$

3. 最終的な答え

$AC = 2\sqrt{19}$