三角形ABCにおいて、$a=6, A=45^\circ, B=30^\circ$のとき、$b$の値を求めよ。ただし、$b$は$b = \boxed{ア}\sqrt{\boxed{イ}}$の形で答える。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6, A=45^\circ, B=30^\circ$のとき、$b$の値を求めよ。ただし、$b$は$b = \boxed{ア}\sqrt{\boxed{イ}}$の形で答える。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、$b$を求める。

正弦定理は、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

である。この問題では、$a=6$, $A=45^\circ$, $B=30^\circ$であるから、

$$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$$

となる。

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$を代入して、

$$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$$

$$6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2b$$

$$12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2b$$

$$\frac{12}{\sqrt{2}} = 2b$$

$$b = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

したがって、$b = 3\sqrt{2}$となる。

3. 最終的な答え

ア：3

イ：2