四角形ABCDにおいて、AB = $1 + \sqrt{3}$、BC = 2、DA = $2\sqrt{2}$、∠A = 105°、∠B = 60°である。対角線ACの長さを求め、さらに四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB = $1 + \sqrt{3}$、BC = 2、DA = $2\sqrt{2}$、∠A = 105°、∠B = 60°である。対角線ACの長さを求め、さらに四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCについて余弦定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$AC^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos{60°}$

$AC^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4 - 4(1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3} = 6$

$AC = \sqrt{6}$

次に、三角形ABCの面積を求める。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sin{60°}$

$S_{ABC} = (1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

次に、三角形ADCについて、∠A=105°、AC = $\sqrt{6}$、DA = $2\sqrt{2}$。三角形の内角の和は180°なので、∠C + ∠D = 360° - 105° - 60° = 195°となる。

∠CAD = αとすると、∠ACD = 180° - (105°+α) = 75°- α。

三角形ADCに対して余弦定理を用いる。

$DC^2 = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos{α}$

$DC^2 = 6 + 8 - 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos{α}$

$DC^2 = 14 - 8\sqrt{3} \cos{α}$

三角形ADCの面積は

$S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \sin{α} = \frac{1}{2} \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} \sin{α}$

$S_{ADC} = \sqrt{12} \sin{α} = 2\sqrt{3} \sin{α}$

四角形ABCDの面積Sは $S = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} + 2\sqrt{3} \sin{α}$

ここで、四角形ABCDの面積を直接求めるのは難しいので、∠ADCの大きさを考える。

∠ADC = θとすると、三角形ADCに対して余弦定理を用いる。

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2AD \cdot DC \cos{θ}$

$6 = 8 + DC^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot DC \cos{θ}$

$DC^2 - 4\sqrt{2} DC \cos{θ} + 2 = 0$

ここで、余弦定理をもう一度利用する。

$DC^2 = 14 - 8\sqrt{3} \cos{α}$

$DC = 2\sqrt{2}$と仮定すると、 $DC^2=8$

$8 = 14 - 8\sqrt{3} \cos{α}$

$8\sqrt{3} \cos{α} = 6$

$\cos{α} = \frac{6}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

このとき、 $\sin{α} = \sqrt{1 - \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$

よって、 $S_{ADC} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

$S = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} + \frac{\sqrt{39}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{39}}{2}$

しかし、これは正解ではない。正攻法で、∠C = 45°となる時を考えてみる。

この時、∠D = 150°となる。

三角形ADCの面積は $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sin{45°} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{12} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$

$S_{ABCD} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{6} = \frac{3 + \sqrt{3} + 2\sqrt{6}}{2}$

三角形ABCについて、BC = 2, AB = $1 + \sqrt{3}$ , 角B = 60°

$AC^2 = 4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2*2*(1+\sqrt{3})*1/2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3} = 6$

AC = $\sqrt{6}$

三角形ADCについて、$2\sqrt{2}$, $\sqrt{6}$

$AC^2 = DA^2 + DC^2 - 2 * DA * DC * Cos(D)$

$DC^2 = 8 + AC^2 - 4 * \sqrt{2} * sqrt{6}

面積 = 3 + $\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

ACの長さは $\sqrt{6}$

四角形の面積は $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{6}$