座標空間内に、中心が原点 $O$ で半径が $2$ の球面 $S$ と、底面が $xy$ 平面上の原点中心、半径 $2$ の円板と、$z=5$ 平面上の点 $(0,0,5)$ 中心、半径 $2$ の円板である円柱 $T$ がある。 (1) 点 $A(0,0,1)$ に対し、点 $P(x,y,z)$ が球面 $S$ 上を $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ を満たしながら動くとき、$x, y$ が満たす関係式を求める。 (2) 点 $B(0,1,1)$ に対し、点 $C(0,2,0)$ を通り $\overrightarrow{OB}$ に垂直な平面を $\alpha$ とする。平面 $\alpha$ による円柱 $T$ の側面の切り口を曲線 $E$ とする。曲線 $E$ 上を点 $Q(x,y,z)$ が動くとき、ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の大きさ $|\overrightarrow{OQ}|$ の最大値と最小値を求める。

## 解答

1. **問題の内容**

座標空間内に、中心が原点 $O$ で半径が $2$ の球面 $S$ と、底面が $xy$ 平面上の原点中心、半径 $2$ の円板と、$z=5$ 平面上の点 $(0,0,5)$ 中心、半径 $2$ の円板である円柱 $T$ がある。

(1) 点 $A(0,0,1)$ に対し、点 $P(x,y,z)$ が球面 $S$ 上を $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ を満たしながら動くとき、$x, y$ が満たす関係式を求める。

(2) 点 $B(0,1,1)$ に対し、点 $C(0,2,0)$ を通り $\overrightarrow{OB}$ に垂直な平面を $\alpha$ とする。平面 $\alpha$ による円柱 $T$ の側面の切り口を曲線 $E$ とする。曲線 $E$ 上を点 $Q(x,y,z)$ が動くとき、ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の大きさ $|\overrightarrow{OQ}|$ の最大値と最小値を求める。

2. **解き方の手順**

(1)

まず、$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{OA}$ を成分で表す。

$P(x,y,z)$, $A(0,0,1)$, $O(0,0,0)$ より、

$\overrightarrow{AP} = (x, y, z-1)$

$\overrightarrow{OA} = (0, 0, 1)$

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ より、

$x \cdot 0 + y \cdot 0 + (z-1) \cdot 1 = 0$

$z - 1 = 0$

$z = 1$

点 $P$ は球面 $S$ 上にあるので、$x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 = 4$ を満たす。

$z = 1$ を代入すると、$x^2 + y^2 + 1^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 3$

(2)

まず、平面 $\alpha$ の方程式を求める。

平面 $\alpha$ は点 $C(0,2,0)$ を通り、法線ベクトルが $\overrightarrow{OB} = (0,1,1)$ なので、

$0(x-0) + 1(y-2) + 1(z-0) = 0$

$y-2 + z = 0$

$y + z = 2$

次に、円柱 $T$ の側面を表す式を求める。

円柱 $T$ は $xy$ 平面上の原点中心、半径 $2$ の円板を底面とするので、$x^2 + y^2 = 4$ を満たす。

点 $Q(x,y,z)$ は曲線 $E$ 上にあるので、$x^2 + y^2 = 4$ かつ $y + z = 2$ を満たす。

$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$x^2 + y^2 = 4$ なので、

$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{4 + z^2}$

$y + z = 2$ より、$y = 2 - z$

$x^2 + (2-z)^2 = 4$

$x^2 + 4 - 4z + z^2 = 4$

$x^2 + z^2 - 4z = 0$

$x^2 = 4z - z^2$

$x^2 \ge 0$ より、$4z - z^2 \ge 0$

$z(4-z) \ge 0$

$0 \le z \le 4$

$f(z) = \sqrt{4 + z^2}$ とおくと、$0 \le z \le 4$ で $f(z)$ は単調増加なので、$z = 0$ で最小値、 $z = 4$ で最大値をとる。

$z = 0$ のとき、$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{4 + 0^2} = 2$

$z = 4$ のとき、$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{4 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. **最終的な答え**

(1) $x^2 + y^2 = 3$

(2) 最大値: $2\sqrt{5}$, 最小値: $2$