半径 $R$ の球に、底面の半径 $r$ で高さが $2h$ の直円柱が内接している。以下の問いに答える。ただし、$0 < h < R$ とする。 (5) $r$ を $h$ と $R$ の式で表せ。 (6) 直円柱の体積を $V$ とする。$V$ を $h$ と $R$ の式で表せ。 (7) $h$ を $0 < h < R$ の範囲で変化させる。このとき、$V$ を最大とする $h$ の値、および $V$ の最大値を $R$ の式で表せ。

1. 問題の内容

半径 $R$ の球に、底面の半径 $r$ で高さが $2h$ の直円柱が内接している。以下の問いに答える。ただし、$0 < h < R$ とする。

(5) $r$ を $h$ と $R$ の式で表せ。

(6) 直円柱の体積を $V$ とする。$V$ を $h$ と $R$ の式で表せ。

(7) $h$ を $0 < h < R$ の範囲で変化させる。このとき、$V$ を最大とする $h$ の値、および $V$ の最大値を $R$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(5) 球の中心から直円柱の底面までの距離は $h$ である。球の半径は $R$ なので、三平方の定理より、$r^2 + h^2 = R^2$ となる。したがって、$r^2 = R^2 - h^2$ より、$r = \sqrt{R^2 - h^2}$ となる。

(6) 直円柱の体積 $V$ は、$V = \pi r^2 (2h)$ で表される。(5) の結果を用いると、$V = \pi (R^2 - h^2) (2h) = 2\pi (R^2 h - h^3)$ となる。

(7) $V$ を $h$ で微分すると、

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\frac{dV}{dh} = 2\pi (R^2 - 3h^2)

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となる。$V$ が最大となるのは $\frac{dV}{dh} = 0$ のときなので、$R^2 - 3h^2 = 0$ より、$3h^2 = R^2$ となり、$h^2 = \frac{R^2}{3}$。$0 < h < R$ より、$h = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} R}{3}$。

このとき、$V$ の最大値は

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V_{max} = 2\pi \left(R^2 \frac{R}{\sqrt{3}} - \left(\frac{R}{\sqrt{3}}\right)^3\right) = 2\pi \left(\frac{R^3}{\sqrt{3}} - \frac{R^3}{3\sqrt{3}}\right) = 2\pi \left(\frac{3R^3 - R^3}{3\sqrt{3}}\right) = 2\pi \frac{2R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} \pi R^3}{9}

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3. 最終的な答え

(5) $r = \sqrt{R^2 - h^2}$

(6) $V = 2\pi (R^2 h - h^3)$

(7) $h = \frac{\sqrt{3}R}{3}$, $V_{max} = \frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}$