一辺12cmの正方形ABCDがあり、点Pは頂点Bを出発して毎秒2cmの速さで辺AB上を頂点Aまで動く。点Qは頂点Dを出発して毎秒3cmの速さで辺AD上を頂点Aまで動く。三角形APQの面積が9cm²となるのは、2点P, Qが同時に出発してから何秒後か求めよ。

1. 問題の内容

一辺12cmの正方形ABCDがあり、点Pは頂点Bを出発して毎秒2cmの速さで辺AB上を頂点Aまで動く。点Qは頂点Dを出発して毎秒3cmの速さで辺AD上を頂点Aまで動く。三角形APQの面積が9cm²となるのは、2点P, Qが同時に出発してから何秒後か求めよ。

2. 解き方の手順

出発してからx秒後のAP, AQの長さを求める。

APの長さは、AB - BPで表される。

BPの長さは $2x$ であり、ABの長さは12cmなので、

APの長さは $12 - 2x$ となる。

AQの長さは $3x$ となる。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$で求められる。

問題文より、三角形APQの面積は9cm²であるので、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} \times (12 - 2x) \times 3x = 9$

両辺を2倍して

$(12 - 2x) \times 3x = 18$

両辺を3で割って

$(12 - 2x) \times x = 6$

$12x - 2x^2 = 6$

$2x^2 - 12x + 6 = 0$

$x^2 - 6x + 3 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = 3 \pm \sqrt{6}$

PとQがそれぞれAに到着するまでの時間を考慮する。

PがAに到着するのは、出発してから$12 / 2 = 6$秒後

QがAに到着するのは、出発してから$12 / 3 = 4$秒後

$3 + \sqrt{6} \approx 3 + 2.45 = 5.45 > 4$ なので、不適。

$3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.45 = 0.55 < 4$ なので、適する。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{6}$ 秒後