与えられた数式の値を求めます。数式は $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求めます。数式は

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。まず、分母と分子に$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}$

分母は$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5 = 2\sqrt{6}$ となります。

分子は $(\sqrt{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{5}))(\sqrt{2} + (\sqrt{3} + \sqrt{5})) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 2 - (3 + 2\sqrt{15} + 5) = 2 - 8 - 2\sqrt{15} = -6 - 2\sqrt{15}$ となります。

したがって、

$\frac{-6 - 2\sqrt{15}}{2\sqrt{6}} = \frac{-3 - \sqrt{15}}{\sqrt{6}}$

さらに分母の有理化を行います。分母と分子に$\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{(-3 - \sqrt{15})\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{6} = \frac{-3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{6} = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-\sqrt{6} - \sqrt{10}}{2}$