不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ の両辺の常用対数をとります。常用対数をとると、

$$\log_{10} \left(\frac{1}{2}\right)^n < \log_{10} 0.01$$

となります。

対数の性質より、

$$n \log_{10} \left(\frac{1}{2}\right) < \log_{10} 10^{-2}$$

$$n (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) < -2$$

$$$$

\log_{10} 1 = 0$ なので、

$$-n \log_{10} 2 < -2$$

両辺を $-1$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$$n \log_{10} 2 > 2$$

問題文より、$\log_{10} 2 = 0.3010$ なので、

$$0.3010n > 2$$

$$n > \frac{2}{0.3010} = \frac{2000}{301}$$

$n > 6.6445...$

$n$ は整数なので、これを満たす最小の整数は 7 です。

3. 最終的な答え

7