$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$3.75 = \frac{15}{4} = \frac{3 \times 5}{2^2}$ であることに注目します。$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \leq 3.75^n < 1000$ であることを意味します。この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \leq \log_{10} (3.75^n) < \log_{10} 1000$

$2 \leq n \log_{10} 3.75 < 3$

となります。ここで、$\log_{10} 3.75 = \log_{10} \frac{15}{4} = \log_{10} (3 \times 5) - \log_{10} 4 = \log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2\log_{10} 2$ であり、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ であることから、

$\log_{10} 3.75 = \log_{10} 3 + (1 - \log_{10} 2) - 2\log_{10} 2 = \log_{10} 3 + 1 - 3\log_{10} 2$

$= 0.4771 + 1 - 3(0.3010) = 0.4771 + 1 - 0.9030 = 0.5741$

したがって、$2 \leq 0.5741n < 3$ となり、各辺を $0.5741$ で割ると、

$\frac{2}{0.5741} \leq n < \frac{3}{0.5741}$

$3.483 \leq n < 5.226$

となります。 $n$ は整数なので、$n = 4, 5$ となり、個数は2個です。

3. 最終的な答え

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