$log_{\frac{1}{2}}9$, $log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{3}$, $log_{\frac{1}{8}}3$ を値の小さい順に並べる。

1. 問題の内容

$log_{\frac{1}{2}}9$, $log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{3}$, $log_{\frac{1}{8}}3$ を値の小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算します。

$log_{\frac{1}{2}}9 = \frac{log 9}{log \frac{1}{2}} = \frac{log 3^2}{log 2^{-1}} = \frac{2 log 3}{-log 2} = -2 \frac{log 3}{log 2}$

$log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{3} = \frac{log \frac{1}{3}}{log \frac{1}{4}} = \frac{log 3^{-1}}{log 4^{-1}} = \frac{-log 3}{-log 4} = \frac{log 3}{log 4} = \frac{log 3}{log 2^2} = \frac{log 3}{2 log 2} = \frac{1}{2} \frac{log 3}{log 2}$

$log_{\frac{1}{8}}3 = \frac{log 3}{log \frac{1}{8}} = \frac{log 3}{log 8^{-1}} = \frac{log 3}{-log 8} = \frac{log 3}{-log 2^3} = \frac{log 3}{-3 log 2} = -\frac{1}{3} \frac{log 3}{log 2}$

ここで、$\frac{log 3}{log 2}$ は正の値であることに注意します。それぞれの係数を比較すると、

$-2 < -\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$

したがって、$log_{\frac{1}{2}}9 < log_{\frac{1}{8}}3 < log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$log_{\frac{1}{2}}9$, $log_{\frac{1}{8}}3$, $log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{3}$