不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} (\frac{1}{3})^n < \log_{10} 0.001$

対数の性質を用いて変形します。

$n \log_{10} \frac{1}{3} < \log_{10} 10^{-3}$

$n \log_{10} 3^{-1} < -3$

$-n \log_{10} 3 < -3$

両辺に-1をかけて不等号の向きを変えます。

$n \log_{10} 3 > 3$

$n > \frac{3}{\log_{10} 3}$

$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入します。

$n > \frac{3}{0.4771}$

$n > 6.2877...$

$n$ は整数なので、$n$ の最小値は7となります。

3. 最終的な答え

7