与えられた連立方程式 (3), (4), (5) を解く問題です。 (3) $ \begin{cases} x + y + 3z = 0 \\ x - y + z = -3 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases} $ (4) $ \begin{cases} x + 2y - w = 1 \\ 2x + 4y + z - w = 4 \\ 3x + 6y + 2z - w = 7 \end{cases} $ (5) $ \begin{cases} x + az = 2a \\ y - 2z = -1 \\ x + y - z = a^2 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立方程式 (3), (4), (5) を解く問題です。

(3)

$$

\begin{cases}

x + y + 3z = 0 \\

x - y + z = -3 \\

x + 2y + 4z = 2

\end{cases}

$$

(4)

$$

\begin{cases}

x + 2y - w = 1 \\

2x + 4y + z - w = 4 \\

3x + 6y + 2z - w = 7

\end{cases}

$$

(5)

$$

\begin{cases}

x + az = 2a \\

y - 2z = -1 \\

x + y - z = a^2

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(3) の解き方：

1番目の式と2番目の式を足し合わせると、$2x + 4z = -3$。

1番目の式を2倍して、3番目の式から引くと、$2x + 4z = -2$。

$2x + 4z = -3$ と $2x + 4z = -2$ を比較すると、矛盾が生じるので、この連立方程式は解なし。

(4) の解き方：

1番目の式を2倍して、2番目の式から引くと、$z + w = 2$。

1番目の式を3倍して、3番目の式から引くと、$2z + 2w = 4$。

この式は $z + w = 2$ を2倍しただけなので、独立な式ではない。

$z + w = 2$ より $z = 2 - w$。

1番目の式より、$x = 1 - 2y + w$。

したがって、解は $x = 1 - 2y + w$, $z = 2 - w$, $y$ および $w$ は任意の値。

(5) の解き方：

1番目の式から $x = 2a - az$。

2番目の式から $y = 2z - 1$。

これらを3番目の式に代入すると、$2a - az + 2z - 1 - z = a^2$。

整理すると、$(1 - a)z = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$。

$a \neq 1$ のとき、$z = \frac{(a - 1)^2}{1 - a} = \frac{(a - 1)^2}{-(a - 1)} = -(a - 1) = 1 - a$。

このとき、$x = 2a - a(1 - a) = 2a - a + a^2 = a + a^2$。

$y = 2(1 - a) - 1 = 2 - 2a - 1 = 1 - 2a$。

$a = 1$ のとき、与えられた方程式は以下の通り。

$$

\begin{cases}

x + z = 2 \\

y - 2z = -1 \\

x + y - z = 1

\end{cases}

$$

1番目の式から $x = 2 - z$。

2番目の式から $y = 2z - 1$。

3番目の式に代入すると、$2 - z + 2z - 1 - z = 1$。

$1 = 1$ となり、zは任意の実数となる。

よって、$x = 2 - z$、$y = 2z - 1$、$z$ は任意の実数。

3. 最終的な答え

(3) 解なし

(4) $x = 1 - 2y + w$, $z = 2 - w$, $y$ および $w$ は任意の値

(5)

$a \neq 1$ のとき、$x = a + a^2$, $y = 1 - 2a$, $z = 1 - a$

$a = 1$ のとき、$x = 2 - z$, $y = 2z - 1$, $z$ は任意の実数