関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ が、区間 $-1 \leq x \leq 4$ においてとりうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ が、区間 $-1 \leq x \leq 4$ においてとりうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求め、極値を求めます。

次に、定義域の端点での関数の値を求めます。

最後に、これらの値を比較して、最大値と最小値を求め、関数の値の範囲を決定します。

ステップ1: 導関数を求める

$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

ステップ2: 極値を求める

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 18x + 15 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x - 1)(x - 5) = 0$

$x = 1, 5$

$x = 1$ は区間 $-1 \leq x \leq 4$ に含まれますが、$x = 5$ は含まれません。

ステップ3: 極値での関数の値を求める

$x = 1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15(1) - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0$

ステップ4: 定義域の端点での関数の値を求める

$x = -1$ と $x = 4$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) - 7 = -1 - 9 - 15 - 7 = -32$

$f(4) = (4)^3 - 9(4)^2 + 15(4) - 7 = 64 - 144 + 60 - 7 = -27$

ステップ5: 最大値と最小値を決定する

求めた関数の値を比較します:

$f(1) = 0$

$f(-1) = -32$

$f(4) = -27$

最大値は $0$ (at $x=1$)、最小値は $-32$ (at $x=-1$) です。

ステップ6: 値の範囲を決定する

したがって、関数 $f(x)$ が区間 $-1 \leq x \leq 4$ においてとりうる値の範囲は $-32 \leq f(x) \leq 0$ です。

3. 最終的な答え

$-32 \leq f(x) \leq 0$