$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 2 = (x - a)^2 + a + 2$

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

(3) 区間 $0 \le x \le 2$ における関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 2$ の最小値 $m$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

1. **平方完成:** 関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 2 = (x - a)^2 + a + 2$

2. **軸の確認:** この関数の軸は $x = a$ です。最小値を求めるには、軸の位置によって場合分けが必要です。区間 $0 \le x \le 2$ に対して、以下の3つの場合を考えます。

* (i) $a < 0$ のとき

* (ii) $0 \le a \le 2$ のとき

* (iii) $a > 2$ のとき

3. **場合分け:**

* (i) $a < 0$ のとき:

区間 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は単調減少です。したがって、$x=2$ で最小値をとります。

$m = f(2) = (2-a)^2 + a + 2 = 4 - 4a + a^2 + a + 2 = a^2 - 3a + 6$

* (ii) $0 \le a \le 2$ のとき:

区間 $0 \le x \le 2$ において、軸 $x=a$ が区間内にあります。したがって、$x=a$ で最小値をとります。

$m = f(a) = (a-a)^2 + a + 2 = a + 2$

* (iii) $a > 2$ のとき:

区間 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は単調増加です。したがって、$x=0$ で最小値をとります。

$m = f(0) = (0-a)^2 + a + 2 = a^2 + a + 2$

4. **最小値の整理:** 以上より、最小値 $m$ は次のようになります。

$m = \begin{cases}

a^2 - 3a + 6 & (a < 0) \\

a + 2 & (0 \le a \le 2) \\

a^2 + a + 2 & (a > 2)

\end{cases}$

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3. 最終的な答え

$m = \begin{cases}

a^2 - 3a + 6 & (a < 0) \\

a + 2 & (0 \le a \le 2) \\

a^2 + a + 2 & (a > 2)

\end{cases}$