放物線 $y = x^2 + (2t-10)x - 4t + 16$ の頂点をPとする。$t$ が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求める。
2025/7/29
1. 問題の内容
放物線 の頂点をPとする。 が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求める。
2. 解き方の手順
与えられた放物線の式を平方完成する。
\begin{align*}
y &= x^2 + (2t-10)x - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - (t-5)^2 - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - (t^2 - 10t + 25) - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - t^2 + 10t - 25 - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - t^2 + 6t - 9 \\
&= (x + t - 5)^2 - (t-3)^2
\end{align*}
したがって、頂点Pの座標は である。
とおくと、 となる。
これを に代入して を消去する。
\begin{align*}
y &= -(-x+5)^2 + 6(-x+5) - 9 \\
&= -(x^2 - 10x + 25) - 6x + 30 - 9 \\
&= -x^2 + 10x - 25 - 6x + 21 \\
&= -x^2 + 4x - 4 \\
&= -(x-2)^2
\end{align*}
また、 より、 となるので、。
したがって、頂点Pの軌跡は、 ()。
3. 最終的な答え
()