放物線 $y = x^2 + (2t-10)x - 4t + 16$ の頂点をPとする。$t$ が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求める。

代数学放物線頂点軌跡二次関数平方完成
2025/7/29

1. 問題の内容

放物線 y=x2+(2t10)x4t+16y = x^2 + (2t-10)x - 4t + 16 の頂点をPとする。tt が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

与えられた放物線の式を平方完成する。
\begin{align*}
y &= x^2 + (2t-10)x - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - (t-5)^2 - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - (t^2 - 10t + 25) - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - t^2 + 10t - 25 - 4t + 16 \\
&= (x + t - 5)^2 - t^2 + 6t - 9 \\
&= (x + t - 5)^2 - (t-3)^2
\end{align*}
したがって、頂点Pの座標は (t+5,t2+6t9)(-t+5, -t^2+6t-9) である。
x=t+5x = -t+5 とおくと、t=x+5t = -x+5 となる。
これを y=t2+6t9y = -t^2 + 6t - 9 に代入して tt を消去する。
\begin{align*}
y &= -(-x+5)^2 + 6(-x+5) - 9 \\
&= -(x^2 - 10x + 25) - 6x + 30 - 9 \\
&= -x^2 + 10x - 25 - 6x + 21 \\
&= -x^2 + 4x - 4 \\
&= -(x-2)^2
\end{align*}
また、t0t \ge 0 より、x+50-x+5 \ge 0 となるので、x5x \le 5
したがって、頂点Pの軌跡は、y=(x2)2y = -(x-2)^2 (x5x \le 5)。

3. 最終的な答え

y=(x2)2y = -(x-2)^2 (x5x \le 5)

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