与えられた変換の中から、1次変換であるものをすべて選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた変換の中から、1次変換であるものをすべて選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

1次変換とは、線形性を持つ変換のことです。つまり、以下の2つの性質を満たす必要があります。

* $f(a\mathbf{x}) = af(\mathbf{x})$ (スカラー倍)

* $f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y})$ (和)

これらの性質を持つ変換は、$2 \times 2$ 行列 $A$ を用いて、$f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ と表現できます。与えられた変換がこの形式で表現できるかを確認することで、1次変換であるかどうかを判定します。

* ア: $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ なので、1次変換です。

* イ: $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ これは原点を通らないので、線形変換ではありません。1次変換ではありません。

例: $f\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

* ウ: $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ なので、1次変換です。

* エ: $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 \\ y \end{pmatrix}$ これは $x$ に関して線形ではありません。例えば、$f\begin{pmatrix} 2x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2x)^2 \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x^2 \\ y \end{pmatrix} \neq 2f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x^2 \\ 2y \end{pmatrix}$ 。1次変換ではありません。

* オ: $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 3x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ なので、1次変換です。

3. 最終的な答え

ア、ウ、オ