$n$次正方行列$A$が逆行列を持つための必要十分条件を全て選択する問題です。選択肢は以下の通りです。 (a) $A$ は零行列ではない (b) $A$ の行列式が 0 でない (c) $A$ の階数が $n$ である (d) $A$ の全ての成分が 0 でない

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A$が逆行列を持つための必要十分条件を全て選択する問題です。選択肢は以下の通りです。

(a) $A$ は零行列ではない

(b) $A$ の行列式が 0 でない

(c) $A$ の階数が $n$ である

(d) $A$ の全ての成分が 0 でない

2. 解き方の手順

行列$A$が逆行列を持つための必要十分条件は、以下のいずれかが成り立つことです。

* $A$の行列式が0でない。

* $A$の階数が$n$である。

したがって、選択肢(b)と(c)が正しいです。

(a) $A$が零行列でないことは、逆行列を持つための十分条件ではありません。例えば、

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$

は零行列ではありませんが、行列式が0なので逆行列を持ちません。

(d) $A$のすべての成分が0でないことも、逆行列を持つための十分条件ではありません。例えば、

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$

はすべての成分が0ではありませんが、行列式が0なので逆行列を持ちません。

3. 最終的な答え

(b)と(c)