与えられた3つの等式を証明する問題です。 (1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$ を証明する。 (2) $a+b+c=0$ のとき、$a^2-bc = b^2-ca = c^2-ab$ を証明する。 (3) $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ のとき、$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$ を証明する。

代数学等式の証明因数分解対称式
2025/7/29

1. 問題の内容

与えられた3つの等式を証明する問題です。
(1) a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=(ab)(bc)(ca)a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a) を証明する。
(2) a+b+c=0a+b+c=0 のとき、a2bc=b2ca=c2aba^2-bc = b^2-ca = c^2-ab を証明する。
(3) ax=by=cz\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} のとき、(a+b+c)2ab+bc+ca=(x+y+z)2xy+yz+zx\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx} を証明する。

2. 解き方の手順

(1)
左辺を展開し、右辺を展開して比較します。
左辺:
a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=a2ba2c+b2cab2+ac2bc2a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2
右辺:
(ab)(bc)(ca)=(ab)(bcabc2+ac)=(abca2bac2+a2cb2c+ab2+bc2abc)=a2ba2cab2+ac2+b2cbc2-(a-b)(b-c)(c-a) = -(a-b)(bc - ab - c^2 + ac) = -(abc - a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2 - abc) = a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - bc^2
左辺と右辺は等しいので、与えられた等式は成り立ちます。
(2)
a+b+c=0a+b+c = 0 より、a=(b+c),b=(a+c),c=(a+b)a = -(b+c), b = -(a+c), c = -(a+b)
a2bc=((b+c))2bc=(b+c)2bc=b2+2bc+c2bc=b2+bc+c2a^2 - bc = (-(b+c))^2 - bc = (b+c)^2 - bc = b^2 + 2bc + c^2 - bc = b^2 + bc + c^2
b2ca=b2((a+b))a=b2+a2+abb^2 - ca = b^2 - (-(a+b))a = b^2 + a^2 + ab
b2ca=b2+a(a+b)=b2+a(c)=b2+a2+ab=b2acb^2 - ca = b^2 + a(a+b) = b^2 + a(-c) = b^2 + a^2 + ab = b^2 - ac
b2ca=b2c(bc)=b2+bc+c2b^2 - ca = b^2 - c(-b-c) = b^2 + bc + c^2
c2ab=c2a(ac)=c2+a2+ac=c2(bc)b=c2+b2+bcc^2 - ab = c^2 - a(-a-c) = c^2 + a^2 + ac = c^2 - (-b-c)b = c^2+b^2+bc
したがって、a2bc=b2ca=c2ab=b2+bc+c2a^2-bc = b^2-ca = c^2-ab = b^2+bc+c^2
(3)
ax=by=cz=k\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k とおくと、a=kx,b=ky,c=kza = kx, b = ky, c = kz
(a+b+c)2ab+bc+ca=(kx+ky+kz)2kxky+kykz+kzkx=k2(x+y+z)2k2(xy+yz+zx)=(x+y+z)2xy+yz+zx\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{(kx+ky+kz)^2}{kxky+kykz+kzkx} = \frac{k^2(x+y+z)^2}{k^2(xy+yz+zx)} = \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}

3. 最終的な答え

(1) a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=(ab)(bc)(ca)a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a) は成り立つ。
(2) a+b+c=0a+b+c=0 のとき、a2bc=b2ca=c2aba^2-bc = b^2-ca = c^2-ab は成り立つ。
(3) ax=by=cz\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} のとき、(a+b+c)2ab+bc+ca=(x+y+z)2xy+yz+zx\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx} は成り立つ。

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