与えられた3つの等式を証明する問題です。 (1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$ を証明する。 (2) $a+b+c=0$ のとき、$a^2-bc = b^2-ca = c^2-ab$ を証明する。 (3) $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ のとき、$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} = \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$ を証明する。
2025/7/29
1. 問題の内容
与えられた3つの等式を証明する問題です。
(1) を証明する。
(2) のとき、 を証明する。
(3) のとき、 を証明する。
2. 解き方の手順
(1)
左辺を展開し、右辺を展開して比較します。
左辺:
右辺:
左辺と右辺は等しいので、与えられた等式は成り立ちます。
(2)
より、。
したがって、
(3)
とおくと、。
3. 最終的な答え
(1) は成り立つ。
(2) のとき、 は成り立つ。
(3) のとき、 は成り立つ。