$x = \frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ とする。 (i) $x$ の分母を有理化するといくらか。 (ii) $(x+\frac{2}{x})(2x+\frac{1}{x})$ の値はいくらか。

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ とする。

(i) $x$ の分母を有理化するといくらか。

(ii) $(x+\frac{2}{x})(2x+\frac{1}{x})$ の値はいくらか。

2. 解き方の手順

(i) $x = \frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

分子と分母に $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ を掛ける。

$x = \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

(ii) $(x+\frac{2}{x})(2x+\frac{1}{x})$ の値を求める。

まず、$x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ より、$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ なので、有理化すると

$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{2}{x} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

$(x+\frac{2}{x})(2x+\frac{1}{x}) = (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + \sqrt{6}-\sqrt{2})(2 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})(\frac{3\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{9\cdot 6 - 2}{4} = \frac{54-2}{4} = \frac{52}{4} = 13$

3. 最終的な答え

(i) $x = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

(ii) $(x+\frac{2}{x})(2x+\frac{1}{x}) = 13$