(1) 虚数単位 $i$ に対して、$i^{2025}$ を求めよ。 (2) $x^{2025} + 10$ を $x^2 + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 虚数単位 $i$ に対して、$i^{2025}$ を求めよ。

(2) $x^{2025} + 10$ を $x^2 + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 虚数単位 $i$ の性質を利用する。$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ である。

$i^{2025}$ を計算するために、2025を4で割った余りを求める。

$2025 = 4 \times 506 + 1$ であるから、

$i^{2025} = i^{4 \times 506 + 1} = (i^4)^{506} \times i^1 = 1^{506} \times i = i$

(2) $x^{2025} + 10$ を $x^2 + 1$ で割ったときの余りを求める。

余りは一般的に $ax + b$ の形になる。

$x^{2025} + 10 = (x^2 + 1)Q(x) + ax + b$ と表せる。ここで、$Q(x)$ は商を表す。

$x^2 + 1 = 0$ となる $x$ は $x = i$ である。したがって、$i^2 = -1$ である。

$x = i$ を代入すると、

$i^{2025} + 10 = (i^2 + 1)Q(i) + ai + b$

$i^{2025} + 10 = 0 \times Q(i) + ai + b$

$i + 10 = ai + b$

係数を比較して、$a = 1$ および $b = 10$ である。

したがって、余りは $x + 10$ である。

3. 最終的な答え

(1) $i^{2025} = i$

(2) 余りは $x + 10$