2つの直線 $y = x + 3$ (①) と $y = 2x - 5$ (②) が与えられている。 (1) 直線①と②のy軸との交点A, Bの座標を求める。 (2) 直線①と②の交点Cの座標を求める。 (3) 線分AC上の点Pを通りy軸に平行な直線と直線②との交点をQとする。点Pのx座標を$t$とするとき、線分PQの長さを$t$を用いて表す。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = x + 3$ (①) と $y = 2x - 5$ (②) が与えられている。

(1) 直線①と②のy軸との交点A, Bの座標を求める。

(2) 直線①と②の交点Cの座標を求める。

(3) 線分AC上の点Pを通りy軸に平行な直線と直線②との交点をQとする。点Pのx座標を$t$とするとき、線分PQの長さを$t$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

点Aは直線① $y = x + 3$ とy軸との交点なので、$x = 0$を代入すると、$y = 0 + 3 = 3$。よってAの座標は(0, 3)。

点Bは直線② $y = 2x - 5$ とy軸との交点なので、$x = 0$を代入すると、$y = 2(0) - 5 = -5$。よってBの座標は(0, -5)。

(2)

点Cは直線①と②の交点なので、連立方程式

$y = x + 3$

$y = 2x - 5$

を解く。$x + 3 = 2x - 5$より、$x = 8$。これを$y = x + 3$に代入すると、$y = 8 + 3 = 11$。よってCの座標は(8, 11)。

(3)

点Pは線分AC上にあるので、まず直線ACの式を求める。A(0, 3)とC(8, 11)を通る直線の傾きは、$(11 - 3) / (8 - 0) = 8 / 8 = 1$。よって、直線ACの式は$y = x + 3$。

点Pのx座標が$t$なので、点Pのy座標は$t + 3$となる。よってPの座標は$(t, t + 3)$。

点Qは点Pを通りy軸に平行な直線と直線②との交点なので、点Qのx座標は$t$である。直線②の式は$y = 2x - 5$なので、点Qのy座標は$2t - 5$となる。よってQの座標は$(t, 2t - 5)$。

線分PQの長さは、点Pと点Qのy座標の差の絶対値である。よって、

$PQ = |(t + 3) - (2t - 5)| = |t + 3 - 2t + 5| = |-t + 8| = |8 - t|$

3. 最終的な答え

(1) A(0, 3), B(0, -5)

(2) C(8, 11)

(3) $PQ = |8 - t|$