放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点をPとする。 $t$ が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点をPとする。 $t$ が0以上の値をとって変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - (t-5)^2 - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - (t^2 - 10t + 25) - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - t^2 + 10t - 25 - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - t^2 + 6t - 9$

$y = (x + t - 5)^2 - (t - 3)^2$

したがって、頂点Pの座標は $(-t + 5, -t^2 + 6t - 9)$ である。

$x = -t + 5$ より $t = 5 - x$ である。

これを $y = -t^2 + 6t - 9$ に代入する。

$y = -(5 - x)^2 + 6(5 - x) - 9$

$y = -(25 - 10x + x^2) + 30 - 6x - 9$

$y = -25 + 10x - x^2 + 30 - 6x - 9$

$y = -x^2 + 4x - 4$

$y = -(x^2 - 4x + 4)$

$y = -(x - 2)^2$

$t \geq 0$ より、 $5 - x \geq 0$ なので $x \leq 5$ である。

3. 最終的な答え

$y = -(x-2)^2$ $(x \leq 5)$