次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。 (1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

1. 問題の内容

次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ を証明する。

まず、右辺を左辺に移項し、不等式を変形します。

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 \ge 0$

次に、左辺を平方完成します。

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + 2 \ge 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \ge 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 0$

実数の二乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(x - 1)^2 = 0$ かつ $(y - 1)^2 = 0$ のときです。

つまり、$x = 1$ かつ $y = 1$ のときです。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ を証明する。

左辺を平方完成します。

$x^2 + 2xy + y^2 + y^2 \ge 0$

$(x + y)^2 + y^2 \ge 0$

実数の二乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(x + y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のときです。

$y = 0$ であり、このとき $x + y = x = 0$ となります。

つまり、$x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x = 1$ かつ $y = 1$ のとき。

(2) 不等式 $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のとき。