数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があり、$(2+\sqrt{3})^n = a_n + \sqrt{3} b_n$ を満たす。このとき、 (1) $a_4$ と $b_4$ の値を求める。 (2) $a_{n+1} = 2a_n + \text{ウ} b_n$ と $b_{n+1} = a_n + \text{エ} b_n$ の $\text{ウ}$ と $\text{エ}$ を求め、$a_n - \sqrt{3} b_n$ の一般項を求める。 (3) $a_n$ と $b_n$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があり、$(2+\sqrt{3})^n = a_n + \sqrt{3} b_n$ を満たす。このとき、

(1) $a_4$ と $b_4$ の値を求める。

(2) $a_{n+1} = 2a_n + \text{ウ} b_n$ と $b_{n+1} = a_n + \text{エ} b_n$ の $\text{ウ}$ と $\text{エ}$ を求め、$a_n - \sqrt{3} b_n$ の一般項を求める。

(3) $a_n$ と $b_n$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n=4$ のとき、$(2+\sqrt{3})^4 = a_4 + \sqrt{3} b_4$ である。

$(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3})^4 = (7+4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3}$

よって、 $a_4 = 97$, $b_4 = 56$.

(2) $(2+\sqrt{3})^{n+1} = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n = (2+\sqrt{3})(a_n+\sqrt{3}b_n) = 2a_n+3b_n+\sqrt{3}(a_n+2b_n) = a_{n+1}+\sqrt{3}b_{n+1}$

したがって、$a_{n+1} = 2a_n+3b_n$, $b_{n+1} = a_n+2b_n$. よって、ウ=3, エ=2。

また、$(2-\sqrt{3})^n = a_n - \sqrt{3} b_n$ である。

$a_{n+1} - \sqrt{3} b_{n+1} = 2a_n+3b_n - \sqrt{3} (a_n+2b_n) = (2-\sqrt{3})(a_n-\sqrt{3}b_n)$

$a_1 = 2, b_1 = 1$ より、 $a_1-\sqrt{3} b_1 = 2 - \sqrt{3}$.

よって、$a_n - \sqrt{3} b_n = (2-\sqrt{3})^n$.

(3) $(2+\sqrt{3})^n = a_n+\sqrt{3}b_n$ と $(2-\sqrt{3})^n = a_n-\sqrt{3}b_n$ より、

$a_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}$

$b_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

(1) $a_4 = 97$, $b_4 = 56$

(2) ウ = 3, エ = 2, $a_n - \sqrt{3} b_n = (2-\sqrt{3})^n$

(3) $a_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}$, $b_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}$