数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = a_n + 5$ および $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ を満たすとき、数列の種類、 $a_2$ と $a_3$ を $a_1$ で表した式、初項 $a_1$ の値、および一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = a_n + 5$ および $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ を満たすとき、数列の種類、 $a_2$ と $a_3$ を $a_1$ で表した式、初項 $a_1$ の値、および一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式 $a_{n+1} = a_n + 5$ より、数列 $\{a_n\}$ は公差が5の等差数列であることがわかります。したがって、アは「公差」、ウは「等差」です。

(2) $a_2$ と $a_3$ を $a_1$ で表します。

$a_2 = a_1 + 5$

$a_3 = a_2 + 5 = (a_1 + 5) + 5 = a_1 + 10$

したがって、エは「5」、オカは「10」です。

(3) $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ に (2) の結果を代入します。

$a_1 + (a_1 + 5) + (a_1 + 10) = 24$

$3a_1 + 15 = 24$

$3a_1 = 9$

$a_1 = 3$

したがって、キは「3」です。

(4) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。等差数列の一般項の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ です。ここで $a_1 = 3$、$d = 5$ なので、

$a_n = 3 + (n-1)5$

$a_n = 3 + 5n - 5$

$a_n = 5n - 2$

したがって、クは「5」、ケは「2」です。

3. 最終的な答え

ア: 公差

ウ: 等差

エ: 5

オカ: 10

キ: 3

ク: 5

ケ: 2

したがって、

$a_n = 5n - 2$