$a \geq 1$ のとき、$a^2 \geq 1$ が成り立つことを証明し、さらに等号が成り立つ場合を調べる問題です。

代数学不等式証明因数分解二次不等式等号条件
2025/7/29

1. 問題の内容

a1a \geq 1 のとき、a21a^2 \geq 1 が成り立つことを証明し、さらに等号が成り立つ場合を調べる問題です。

2. 解き方の手順

a1a \geq 1 が与えられています。
まず、a21a^2-1 を考えます。これは因数分解できます。
a21=(a1)(a+1)a^2 - 1 = (a-1)(a+1)
a1a \geq 1 であるから、a10a - 1 \geq 0 かつ a+12>0a + 1 \geq 2 > 0 が成り立ちます。
したがって、a21=(a1)(a+1)0a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \geq 0 となります。
これは、a21a^2 \geq 1 を意味します。これで証明が完了しました。
次に、等号が成り立つ場合を考えます。
a2=1a^2 = 1 となるのは、a21=0a^2 - 1 = 0 のときです。
つまり、(a1)(a+1)=0(a-1)(a+1) = 0 が成り立つときです。
これは、a=1a=1 または a=1a=-1 のときです。
しかし、a1a \geq 1 という条件があるので、a=1a=-1 は不適です。
したがって、a=1a=1 のときに等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

a1a \geq 1 のとき、a21a^2 \geq 1 が成り立つ。等号が成り立つのは a=1a=1 のとき。

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