2次関数 $y = x^2 - x + k + 1$ において、$-1 \le x \le 1$ における最大値が6であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - x + k + 1$ において、$-1 \le x \le 1$ における最大値が6であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - x + k + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + k + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + k + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + k + \frac{3}{4}$

この2次関数の軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

区間 $-1 \le x \le 1$ は軸を含みます。

区間の端点での $y$ の値を調べます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - (-1) + k + 1 = 1 + 1 + k + 1 = k + 3$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^2 - (1) + k + 1 = 1 - 1 + k + 1 = k + 1$

軸が区間内にあるため、最大値は区間の端点 $x=-1$ で取る可能性があります。

また、$x = -1$ のとき $y = k+3$, $x=1$ のとき、$y=k+1$ なので $x = -1$ で最大値を取ります。

したがって、$k + 3 = 6$ となります。

これを解くと、$k = 6 - 3 = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$k = 3$