全体集合 $U$ を実数全体とする。集合 $A$ を $A = \{x|-1 < x < 5\}$、集合 $B$ を $B = \{x|x \le 2\}$ とする。以下の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を実数全体とする。集合 $A$ を $A = \{x|-1 < x < 5\}$、集合 $B$ を $B = \{x|x \le 2\}$ とする。以下の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分である。

$A = \{x|-1 < x < 5\}$ であり、$B = \{x|x \le 2\}$ であるから、

$A \cap B = \{x|-1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合である。

$A = \{x|-1 < x < 5\}$ であり、$B = \{x|x \le 2\}$ であるから、

$A \cup B = \{x|x < 5\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$\overline{B}$ は $B$ の補集合である。

$\overline{A} = \{x|x \le -1 \text{ or } x \ge 5\}$

$\overline{B} = \{x|x > 2\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x|x \ge 5\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

$\overline{A} = \{x|x \le -1 \text{ or } x \ge 5\}$

$\overline{B} = \{x|x > 2\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x|x \le -1 \text{ or } x > 2\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x|-1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B = \{x|x < 5\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x|x \ge 5\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x|x \le -1 \text{ or } x > 2\}$