全体集合 $U = \{n \mid 101 \le n \le 200, n \text{ は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{x \mid x \text{ は3の倍数}\}$ が与えられたとき、$n(\overline{A})$ を求めよ。ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表し、$n(\overline{A})$ は $\overline{A}$ の要素の個数を表す。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{n \mid 101 \le n \le 200, n \text{ は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{x \mid x \text{ は3の倍数}\}$ が与えられたとき、$n(\overline{A})$ を求めよ。ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表し、$n(\overline{A})$ は $\overline{A}$ の要素の個数を表す。

2. 解き方の手順

ステップ1: 全体集合Uの要素の個数を求める。

$U$ の要素は $101$ から $200$ までの整数なので、その個数は $200 - 101 + 1 = 100$ である。

したがって、$n(U) = 100$。

ステップ2: 部分集合Aの要素の個数を求める。

$A$ は $U$ の要素のうち、3の倍数であるもの全体である。

$101$ 以上で最小の3の倍数は $102 = 3 \times 34$ である。

$200$ 以下で最大の3の倍数は $198 = 3 \times 66$ である。

したがって、$A$ の要素は $3 \times 34, 3 \times 35, \dots, 3 \times 66$ と表される。

よって、$n(A) = 66 - 34 + 1 = 33$。

ステップ3: 補集合 $\overline{A}$ の要素の個数を求める。

$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち、$A$ に含まれないもの全体である。

したがって、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 33 = 67$。

3. 最終的な答え

$n(\overline{A}) = 67$