与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$の2次式として式を整理します。

$6x^2 + (7y+1)x + (2y^2-2)$

次に、$6x^2 + 7xy + 2y^2$の部分に着目し、因数分解を試みます。

$6x^2 + 7xy + 2y^2 = (2x+y)(3x+2y)$

そこで、元の式全体が$(2x+y+a)(3x+2y+b)$の形に因数分解できると仮定します。

展開すると、

$(2x+y+a)(3x+2y+b) = 6x^2 + 4xy + 2bx + 3xy + 2y^2 + by + 3ax + 2ay + ab$

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (2b+3a)x + (b+2a)y + ab$

元の式と比較すると、

$2b+3a = 1$

$b+2a = 0$

$ab = -2$

$b+2a = 0$より、$b=-2a$です。

これを$2b+3a = 1$に代入すると、

$2(-2a) + 3a = 1$

$-4a + 3a = 1$

$-a = 1$

$a = -1$

$b = -2a = -2(-1) = 2$

$ab = (-1)(2) = -2$ となり、条件を満たしています。

したがって、$a=-1$、$b=2$となります。

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(3x+2y+2)$