(1) $a+b+c=1$, $ab+bc+ca=2$, $abc=3$のとき、$a^3+b^3+c^3$の値を求めよ。 (2) 方程式 $ax^2+2x+a=0$ が異なる2つの実数解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 実数 $x,y$ において、$y = \log_2 x^2$ は $y = 2 \log_2 x$ であるための何条件であるか。 (4) 異なる5色の球で首飾りを作ると何種類できるか。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c=1$, $ab+bc+ca=2$, $abc=3$のとき、$a^3+b^3+c^3$の値を求めよ。

(2) 方程式 $ax^2+2x+a=0$ が異なる2つの実数解をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 実数 $x,y$ において、$y = \log_2 x^2$ は $y = 2 \log_2 x$ であるための何条件であるか。

(4) 異なる5色の球で首飾りを作ると何種類できるか。

2. 解き方の手順

(1) $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ という公式を利用する。

まず，$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 1^2 - 2(2) = 1 - 4 = -3$ である。

したがって，$a^3+b^3+c^3 - 3(3) = (1)(-3-2) = -5$ となる。

よって、$a^3+b^3+c^3 = -5+9 = 4$ となる。

(2) $ax^2+2x+a=0$ が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D/4 = 1 - a^2 > 0$ より、$a^2 < 1$ となる。

したがって、$-1 < a < 1$ である。

ただし、$a=0$のときは、$2x = 0$ となり、実数解は $x=0$ のみとなるので、$a \neq 0$ である必要がある。

よって、$-1 < a < 0$ または $0 < a < 1$ である。

(3) $y = \log_2 x^2$ は $x \neq 0$ のとき定義される。

$y = 2 \log_2 x$ は $x > 0$ のとき定義される。

したがって、$x > 0$ ならば $x \neq 0$ が成り立つので、$y = 2 \log_2 x$ ならば $y = \log_2 x^2$ が成り立つ。

しかし、$x = -1$ のとき、$y = \log_2 (-1)^2 = \log_2 1 = 0$ だが、$y = 2 \log_2 (-1)$ は定義されない。

よって、$y = \log_2 x^2$ は $y = 2 \log_2 x$ であるための必要条件である。

(4) 異なる5色の球で首飾りを作るとき、円順列で考えると $(5-1)! = 4! = 24$ 通り。

しかし、裏返して同じになるものを同一視するため、2で割る。

$24/2 = 12$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $-1 < a < 0$ または $0 < a < 1$

(3) 必要

(4) 12