与えられた多項式 $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、この式を整理して因数分解しやすい形にします。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc = ab^2 + a^2b + ac^2 + a^2c + bc^2 + b^2c + 2abc$

$= a(b^2 + 2bc + c^2) + a^2(b+c) + bc(b+c)$

$= a(b+c)^2 + a^2(b+c) + bc(b+c)$

ここで、$b+c$ が共通因数なので、$b+c$ でくくります。

$= (b+c) [a(b+c) + a^2 + bc]$

$= (b+c) [ab + ac + a^2 + bc]$

$= (b+c) [a(a+b) + c(a+b)]$

ここで、$a+b$ が共通因数なので、$a+b$ でくくります。

$= (b+c) (a+b) (a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$