与えられた5つの式を展開する問題です。 (1) $(x+2y)(3x-y)$ (2) $(a-2b-3c)^2$ (3) $(a-2b+5c)(a-2b-5c)$ (4) $(2a-5b)^3$ (5) $(x+2)^2(x^2-2x+4)(x-2)$

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開する問題です。

(1) $(x+2y)(3x-y)$

(2) $(a-2b-3c)^2$

(3) $(a-2b+5c)(a-2b-5c)$

(4) $(2a-5b)^3$

(5) $(x+2)^2(x^2-2x+4)(x-2)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+2y)(3x-y)$

分配法則を用いて展開します。

$x(3x-y) + 2y(3x-y) = 3x^2 - xy + 6xy - 2y^2 = 3x^2 + 5xy - 2y^2$

(2) $(a-2b-3c)^2$

$(a-2b-3c)(a-2b-3c)$を展開します。

$a(a-2b-3c) -2b(a-2b-3c) -3c(a-2b-3c) = a^2 -2ab -3ac -2ab +4b^2 +6bc -3ac +6bc +9c^2 = a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 4ab - 6ac + 12bc$

(3) $(a-2b+5c)(a-2b-5c)$

$A = a-2b$とおくと, $(A+5c)(A-5c) = A^2 - (5c)^2 = (a-2b)^2 - 25c^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 - 25c^2$

(4) $(2a-5b)^3$

$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$の公式を利用します。

$(2a-5b)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(5b) + 3(2a)(5b)^2 - (5b)^3 = 8a^3 - 3(4a^2)(5b) + 3(2a)(25b^2) - 125b^3 = 8a^3 - 60a^2b + 150ab^2 - 125b^3$

(5) $(x+2)^2(x^2-2x+4)(x-2)$

$(x+2)(x+2)(x-2)(x^2-2x+4) = (x+2)(x-2)(x+2)(x^2-2x+4) = (x^2-4)(x^3+8)/(x+2)*2 = (x^2-4)(x^3+8)$

$((x+2)(x^2-2x+4))(x+2)(x-2) = (x^3+8)(x^2-4) = x^5 -4x^3+8x^2-32$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2 + 5xy - 2y^2$

(2) $a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 4ab - 6ac + 12bc$

(3) $a^2 + 4b^2 - 4ab - 25c^2$

(4) $8a^3 - 60a^2b + 150ab^2 - 125b^3$

(5) $x^5 - 4x^3 + 8x^2 - 32$