与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$を展開します。

\begin{align*}

(a+b+c)(ab+bc+ca) &= a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca) \\

&= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a \\

&= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc

\end{align*}

次に、この結果から$abc$を引きます。

$(a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc) - abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

この式は、対称式なので、因数分解できる可能性があります。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$と予想します。

$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開します。

\begin{align*}

(a+b)(b+c)(c+a) &= (a+b)(bc + c^2 + b^2 + ab) \\

&= abc + ac^2 + ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 + ab^2 \\

&= abc + ac^2 + 2ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 \\

&= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc

\end{align*}

したがって、$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = (a+b)(b+c)(c+a)$です。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$