与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、項の順序を整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2$

さらに、項を組み替えて因数分解します。

$(ab^2 - ba^2) + (bc^2 - cb^2) + (ca^2 - ac^2) = ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c)$

$ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c) = -ab(a-b) - bc(b-c) - ca(c-a)$

ここで、式全体にマイナスをかけて括弧の中の符号を反転させます。

$-ab(a-b) - bc(b-c) - ca(c-a) = -(ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a))$

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$　を展開します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - bc^2$

$a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

共通因数$(b-c)$でくくります。

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

括弧の中を因数分解します。

$(b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c)$

したがって、$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = (a-b)(b-c)(a-c)$

求める式は$-(a-b)(b-c)(a-c)$なので、

$-(a-b)(b-c)(a-c) = (a-b)(c-b)(a-c) = (a-b)(c-b)(a-c) = (a-b)(c-b)(a-c)$

式を整理すると、

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c = -a^2(b-c) + a(b^2-c^2) - bc(b-c)$

$= (b-c) (-a^2 + a(b+c) - bc) = (b-c) (-a^2 + ab + ac - bc)$

$= (b-c) [ a(b-a) + c(a-b) ]= (b-c) [ a(b-a) - c(b-a) ]$

$= (b-c) (b-a) (a-c) = - (a-b)(b-c)(c-a)$

元の式に展開した項を代入すると、$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (a-b)(b-c)(c-a)$.

3. 最終的な答え

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