三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分COと線分ORの長さの比 $CO:OR$ を求める。ただし、点Oは線分BQと線分CRの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分COと線分ORの長さの比 $CO:OR$ を求める。ただし、点Oは線分BQと線分CRの交点である。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理、またはベクトルの知識を使うと解けます。ここでは、ベクトルを使って解いてみます。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とおきます。

点Rは辺ABを1:2に内分するので、$\vec{AR} = \frac{1}{3}\vec{b}$

点Qは辺ACを3:1に内分するので、$\vec{AQ} = \frac{3}{4}\vec{c}$

点Oは線分BQ上にあるので、$s$を実数として、

$\vec{AO} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AQ} = (1-s)\vec{b} + s\frac{3}{4}\vec{c}$

点Oは線分CR上にあるので、$t$を実数として、

$\vec{AO} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AR} = (1-t)\vec{c} + t\frac{1}{3}\vec{b}$

したがって、

$(1-s)\vec{b} + \frac{3}{4}s\vec{c} = \frac{1}{3}t\vec{b} + (1-t)\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{3}t$

$\frac{3}{4}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、

$s = \frac{8}{11}, t = \frac{9}{11}$

$\vec{AO} = \frac{3}{11}\vec{b} + \frac{6}{11}\vec{c}$

$\vec{CO} = \vec{AO} - \vec{AC} = \frac{3}{11}\vec{b} - \frac{5}{11}\vec{c}$

$\vec{OR} = \vec{AR} - \vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{3}{11}\vec{b} - \frac{6}{11}\vec{c} = \frac{2}{33}\vec{b} - \frac{6}{11}\vec{c}$

しかし、ベクトルで比を出すのは難しいので、メネラウスの定理を使う。

三角形ACRにおいて、直線BQを考えると、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$2\frac{CO}{OR} = 1$

$\frac{CO}{OR} = \frac{1}{2}$

よって、$CO:OR = 1:2$

3. 最終的な答え

CO:OR = 1:2