与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解できるかどうか検討し、もし因数分解可能であれば、その結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解できるかどうか検討し、もし因数分解可能であれば、その結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ の二次式として整理します。

$$3x^2 + (2y + 7)x + (-y^2 + 3y + 4)$$

次に、定数項 $-y^2 + 3y + 4$ を因数分解します。

$$-y^2 + 3y + 4 = -(y^2 - 3y - 4) = -(y - 4)(y + 1) = (4-y)(y+1)$$

したがって、$x$ の二次式は次のようになります。

$$3x^2 + (2y + 7)x + (4 - y)(y + 1)$$

この式が因数分解できると仮定すると、

$$(ax + by + c)(dx + ey + f)$$

の形になるはずです。係数を比較して、因数分解を試みます。$x^2$ の係数が 3 なので、$a$ と $d$ は $3$ と $1$ であると推測できます。また、$-y^2$ の係数が -1 なので、$b$ と $e$ は正負が逆であると推測できます。

$(3x + Ay + B)(x + Cy + D)$の形を考えます。

$3x^2 + (3Cy + Ay)x + ACy^2 + (3D + B)x + (AD + BC)y + BD$となり、元の式と比較すると、

$AC = -1$

$AD + BC = 3$

$BD = 4$

$3C + A = 2$

$3D + B = 7$

$AC = -1$ より、例えば $A = 1$, $C = -1$ とすると、$3C + A = -3 + 1 = -2$ となり、$2y + 7$ の $2$ と符号が違うので、$A = -1$, $C = 1$ とします。

すると、$3C + A = 3 - 1 = 2$ となり、合っています。

したがって、$3D + B = 7$ かつ $BD = 4$ を満たす $B, D$ を見つけます。

$B = 4, D = 1$ とすると、$3D + B = 3 + 4 = 7$ となり、合っています。

$AD + BC = -1 + 4 = 3$ となり、合っています。

したがって、

$$(3x - y + 4)(x + y + 1) = 3x^2 + 3xy + 3x - xy - y^2 - y + 4x + 4y + 4 = 3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$$

となり、因数分解できました。

3. 最終的な答え

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$