次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1 + \log x}}{x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1 + \log x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1 + \log x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} dx$ となります。

また、積分区間も変更する必要があります。

$x = 1$ のとき、$u = 1 + \log 1 = 1 + 0 = 1$ となります。

$x = e$ のとき、$u = 1 + \log e = 1 + 1 = 2$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} du$

$\sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ であるので、積分すると

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} du = \left[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2} = \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{2}$

これを評価すると

$\frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

したがって、最終的な答えは $\frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$