与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解または簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解または簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、同類項をまとめるために項の順序を整理する。

$ab^2 - ba^2 - ac^2 + ca^2 + bc^2 - cb^2$

$a$について整理する。

$ab^2 - a^2b + a^2c - ac^2 + bc^2 - b^2c$

$ab(b-a) + a(ac - c^2) + bc(c-b)$

$ab(b-a) + ac(a-c) + bc(c-b)$

各項の符号を調整して、共通因数を作る。

$-ab(a-b) - ac(c-a) - bc(b-c)$

$-ab(a-b) + ac(a-c) + bc(c-b)$

次に、式を$- (a-b)(b-c)(c-a)$の形に変形することを試みる。

式を展開すると、

$ab^2 - a^2 b + bc^2 - b^2 c + ca^2 - c^2 a$

$-(a-b)(b-c)(c-a) = - (ab - ac - b^2 + bc)(c-a) = - (abc - a^2 b - ac^2 + a^2 c - b^2 c + ab^2 + bc^2 - abc) = - (- a^2 b - ac^2 + a^2 c - b^2 c + ab^2 + bc^2) = a^2 b + ac^2 - a^2 c + b^2 c - ab^2 - bc^2 = -ab^2 + a^2 b - bc^2 + b^2 c + ac^2 - a c^2$.

元の式と$-(a-b)(b-c)(c-a)$を展開した式が一致している。

したがって、

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = - (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

あるいは

$(a-b)(c-a)(b-c)$

あるいは

$(b-a)(b-c)(a-c)$