右の図のような道のある地域において、次の条件でAからBまで行く最短の道順の数を求める。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域において、次の条件でAからBまで行く最短の道順の数を求める。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短経路の総数は、右方向に4回、下方向に3回進む順列の数に等しい。したがって、

$$\frac{(4+3)!}{4!3!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7\times 6 \times 5}{3\times 2\times 1} = 35$$

(2) AからCまでの最短経路は、右方向に2回、下方向に1回進む順列の数に等しい。

$$\frac{(2+1)!}{2!1!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$$

CからBまでの最短経路は、右方向に2回、下方向に2回進む順列の数に等しい。

$$\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$$

したがって、AからCを通ってBまで行く最短経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積で計算される。

$$3 \times 6 = 18$$

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の総数は、AからBまでの総経路数からAからCを通ってBまで行く経路数を引くことで計算される。

$$35 - 18 = 17$$

3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 18通り

(3) 17通り