1個のサイコロを5回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 偶数の目が4回以上出る確率 (2) 5回目に3度目の6が出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 偶数の目が4回以上出る確率

(2) 5回目に3度目の6が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 偶数の目が4回以上出る確率

サイコロを1回投げたとき、偶数の目が出る確率は $\frac{1}{2}$ です。奇数の目が出る確率も $\frac{1}{2}$ です。

5回のうち、偶数の目が4回出る確率と5回出る確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせます。

偶数の目が4回出る確率は、二項分布を用いて計算できます。

${}_5 C_4 \times (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^1 = 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$

偶数の目が5回出る確率は、

${}_5 C_5 \times (\frac{1}{2})^5 \times (\frac{1}{2})^0 = 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32}$

したがって、偶数の目が4回以上出る確率は、

$\frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

(2) 5回目に3度目の6が出る確率

5回目に3度目の6が出るということは、4回目までに6が2回出て、5回目に6が出る必要があります。

サイコロを1回投げたとき、6が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。6以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ です。

4回目までに6が2回出る確率は、二項分布を用いて計算できます。

${}_4 C_2 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

5回目に6が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。

したがって、5回目に3度目の6が出る確率は、

$\frac{25}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{1296}$

3. 最終的な答え

(1) 偶数の目が4回以上出る確率: $\frac{3}{16}$

(2) 5回目に3度目の6が出る確率: $\frac{25}{1296}$