サイコロを繰り返し投げる問題です。 (1) サイコロを2回投げたとき、出た目の積$ab$が奇数になる確率を求めます。 (2) サイコロを2回投げたとき、出た目の和$a+b$が1桁の奇数になる確率を求めます。 (3) サイコロを2回投げ、$X = 10a + b$とおくとき、$X$の期待値を求めます。 (4) サイコロを3回投げ、$X = 10a + b$, $Y = cX$ とおくとき、$Y$が2桁の奇数となる確率を求めます。 (5) サイコロを3回投げ、$ab$が偶数であるとき、$Y$が偶数となる条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

サイコロを繰り返し投げる問題です。

(1) サイコロを2回投げたとき、出た目の積$ab$が奇数になる確率を求めます。

(2) サイコロを2回投げたとき、出た目の和$a+b$が1桁の奇数になる確率を求めます。

(3) サイコロを2回投げ、$X = 10a + b$とおくとき、$X$の期待値を求めます。

(4) サイコロを3回投げ、$X = 10a + b$, $Y = cX$ とおくとき、$Y$が2桁の奇数となる確率を求めます。

(5) サイコロを3回投げ、$ab$が偶数であるとき、$Y$が偶数となる条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

積$ab$が奇数になるのは、$a$も$b$も奇数のときです。サイコロの目は1から6なので、奇数の目は1, 3, 5の3つです。したがって、$a$が奇数になる確率は$3/6 = 1/2$、$b$が奇数になる確率も$1/2$です。よって、$ab$が奇数になる確率は、

$$(1/2) \times (1/2) = 1/4$$

(2)

$a+b$が1桁の奇数となるのは、$a+b = 1, 3, 5, 7, 9$となるときです。

それぞれの組み合わせの数を数えます。

- $a+b = 1$となる組み合わせは存在しません。($a,b$は1から6の整数)

- $a+b = 3$となるのは、$(1,2), (2,1)$の2通り。

- $a+b = 5$となるのは、$(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$の4通り。

- $a+b = 7$となるのは、$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$の6通り。

- $a+b = 9$となるのは、$(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$の4通り。

全部で$2 + 4 + 6 + 4 = 16$通りあります。

サイコロの目の出方は全部で$6 \times 6 = 36$通りなので、確率は $16/36 = 4/9$です。

(3)

$X = 10a + b$の期待値は、$E[X] = E[10a + b] = 10E[a] + E[b]$で計算できます。

$a, b$はサイコロの目なので、期待値は同じです。

$E[a] = E[b] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2$

$E[X] = 10 \times (7/2) + 7/2 = 70/2 + 7/2 = 77/2 = 38.5$

(4)

$Y = cX = c(10a + b)$が2桁の奇数になる確率を求めます。$Y$は11, 13, ..., 99のいずれかになる必要があります。

まず、$X = 10a + b$が取りうる値の範囲を考えます。最小値は$10(1) + 1 = 11$、最大値は$10(6) + 6 = 66$です。

$Y$が2桁の奇数になるためには、$cX$が奇数である必要があるので、$c$と$X$はともに奇数でなければなりません。したがって、$a$と$b$も奇数である必要があります。

$a, b, c$がすべて奇数の場合、$a, b, c$はそれぞれ1, 3, 5のいずれかです。

$a$と$b$が奇数の場合、$X = 10a+b$は奇数になります。$X$が取りうる値は、11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55の9通りです。

$c$は1, 3, 5のいずれかです。

$Y = cX$が2桁の奇数となる場合を調べます。

- $c=1$のとき、$X$が2桁の奇数であれば良いので、$X=11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55$の9通り。

- $c=3$のとき、$Y = 3X$。$X$が11, 13, 15, 31, 33のとき、$Y$は33, 39, 45, 93, 99。このうち奇数は33, 45, 93, 99なので、4通り。

- $c=5$のとき、$Y = 5X$。$X$が11, 13, 15のとき、$Y$は55, 65, 75。$X$が31, 33, 35のとき、$Y$は155, 165, 175。$X$が51, 53, 55のとき、$Y$は255, 265, 275。このうち2桁の奇数は55, 65, 75がないので0通り。

$11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55$はそれぞれ、$a, b$が$1, 1; 1, 3; 1, 5; 3, 1; 3, 3; 3, 5; 5, 1; 5, 3; 5, 5$の場合なので、9通り。

$33, 39, 45, 93, 99$のうち、$X=11, 13, 15, 31, 33$の場合、$c=3$なので、11, 13, 15, 31, 33はそれぞれ、$a, b$が$1, 1; 1, 3; 1, 5; 3, 1; 3, 3$の場合なので、5通り。

組み合わせは、$9+4 = 13$。

$a, b, c$が奇数となる組み合わせは、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り。全体の組み合わせは、$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

$a$と$b$が奇数となる確率は$(1/2) \times (1/2) = 1/4$。$c$が奇数となる確率は$1/2$。よって$1/8$。

2桁の奇数になる確率は $13/216$ ではない。

$Y=cX$、全部で$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

$Y$が2桁の奇数となる組み合わせは、11, 13, 15, ..., 99の45通り。

(5)

$ab$が偶数であるとき、$Y$が偶数となる条件付き確率を求めます。$P(Yが偶数 | abが偶数)$

$P(Yが偶数 | abが偶数) = P(Yが偶数 かつ abが偶数) / P(abが偶数)$

3. 最終的な答え

(1) 1/4

(2) 4/9

(3) 38.5

(4) 解答できません

(5) 解答できません